Question

已知　 f(x)= x e x （e是自然对数的底数），

Answer 1

（Ⅰ）∵ f(x)=

x

e x ，∴ f′(x)=

e x -x e x

( e x ) 2 =

1-x

e x ，

当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）是单调递减．

所以f（x）的递增区间是（-∞，1]，递减区间是[1，+∞）．　…3分

（Ⅱ）①当k≤0时，有2k＜ln2，∴e ^2k＜2，∴

2

e 2k ＞1 ，∴

2k

e 2k ≤k ，

因此f（2k）≤k≤0=f（0），等号在k=0时成立．

若k＜0，由f（x）在（-∞，1]上递增知，存在唯一的x ₀∈（2k，0），使得f（x ₀）=k．

又x＞0时，f（x）＞0，所以当k≤0时，f（x）-k只有一个零点．…5分

②由（Ⅰ）知， f(x ) max =f(1)=

1

e ，所以 k=

1

e 时，f（x）-k只有一个零点．…6分

③当 0＜k＜

1

e 时，f（x）在（-∞，1]上递增并结合（Ⅰ），存在一个x ₁∈（0，1），使得f（x ₁）=0．

若x＞1，设g（x）=ke ^x-x，则g′（x）=ke ^x-1，∴ 1＜x＜ln

1

k 时，g′（x）＜0，g（x）递减， x＞ln

1

k 时，g′（x）＞0，g（x）递增，∴ g(x) min =g(ln

1

k )=1-ln

1

k ＜0 ．

设h（x）=lnx-x，则 h′(x)=

1-x

x ，0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增，x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴h（x） _max=h（1）=0，即x＞0且x≠1时，有lnx＜x．

∴ g(ln

1

k 4 )=k e ln

1

k 4 -ln

1

k 4 =

1

k 3 -4ln

1

k ＞

1

k 3 -

4

k =

(1+2k)(1-2k)

k 3 ＞0

所以，在区间 (ln

1

k ，ln

1

k 4 ) 上存在一点x ₂使得g（x ₂）=0，即

x 2

e x 2 =k ．

因为f（x）在（1，+∞）上递减，所以存在唯一x ₂∈（1，+∞），使得g（x ₂）=0，即f（x ₂）=k．

所以f（x）-k在有两个零点．

综上所述，实数k的取值范围是（-∞，0]∪{1}．…10分

（Ⅲ）证明：设a _n=f（n），S _n=a ₁+a ₂+…+a _n，则 a n =

n

e n 且 S n =

1

e +

2

e 2 +

3

e 3 …+

n

e n ，

∴

1

e S n =

1

e 2 +

2

e 3 +

3

e 4 +…+

n-1

e n +

n

e n+1

∴ (1-

1

e ) S n =

1

e +

1

e 2 +

1

e 3 +…+

1

e n -

n

e n+1 =

1

e (1-

1

e n )

1-

1

e -

n

a n+1

∴ S n =

e( e n -1)-n(e-1)

e n (e-1) 2 ．

由（Ⅰ）知 f(x ) max =f(1)=

1

e ，∴ f(x)≤

1

e ，∴ a n =f(n)≤

1

e ，∴ S n ≤

n

e ，

∴

e( e n -1)-n(e-1)

e n (e-1) 2 ≤

n

e ．…14分．