Question

已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y＝(12)x的图象上，且数列

Answer 1

解题思路：（1）根据题中已知条件以及等差数列的基本性质，先求出b_n的通项公式，然后证明为常数即可证明；

（2）先求出b_n的通项公式，然后求出c_n的表达式，可知数列c_n从第二项起随n增大而减小，故c_n≤c₂，即t=c₂，便可求出t的最小值；

（3）根据题意先求出d_n的表达式，然后求出S_n的表达式，因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，所以存在自然数m，使S_m=2008．

（1）由已知bn＝(

1

2)an，（1分）

所以，

bn+1

bn＝(

1

2)an+1−an＝(

1

2)d（常数），（3分）

所以，数列{b_n}是等比数列．（4分）

（2）公差d=1，则a_n=n，得bn＝(

1

2)n，

∴cn＝n(

1

2)n，（8分）

cn−cn+1＝n(

1

2)n−(n+1)(

1

2)n+1＝(

1

2)n

n−1

2≥0，

∴c₁=c₂＞c₃＞c₄＞c_n＞数列{c_n}从第二项起随n增大而减小（9分）

∴又c1＝c2＝

1

2，则[1/2≤

1

t]．得0＜t≤2最大的实数t的值等于2（11分）

（3）∵a_n=n，∴数列{d_n}中，从第一项a₁开始到a_k为止（含a_k项）的所有项的和是(1+2++k)+(31+32++3k−1)＝

k(k+1)

2+

3k−3

2，（13分）

当k=7时，其和是28+

37−3

2＝1120＜2008，（14分）

而当k=8时，其和是36+

38−3

2＝3315＞2008．（15分）

又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，

所以存在自然数m，使S_m=2008．

此时m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．（18分）

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查了等差数列和等比数列的基本性质以及函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．