山西大学附中
2011-2012高三4月月考数学参考答案（理科）
一．选择题
1-5 DDCDC 6-10 CBDBC 11-12 AC
二．填空题：
13. 14. 15. 16. 1.2.4
三．解答题：
17.（1）由图像知 , 的最小正周期 ,故 … （2分）
将点 代入 的解析式得 ,又
故 所以 ……………… 4分zxxk
（2）由 得
所以 ……………………6分
因为 所以 ………………8分
……………………10分
……………………12分
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：设 为 的中点,连接 ,则
∵ , , ,∴四边形 为正方形,
∵ 为 的中点,∴ 为 的交点,
∵ , ,
∵ ,zxxk
∴ , ,
在三角形 中, ,∴ ,…………4分
∵ ,∴ 平面 ； …………5分
(Ⅱ)方法1：连接 ,∵ 为 的中点, 为 中点,∴ ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 . …9分
方法2：由(Ⅰ)知 平面 ,又 ,所以过 分别做 的平行线,以它们做 轴,以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由已 知得 , , , , ,
,则 , , , .∴ ∴ ∵ 平面 , 平面 ,zxxk
∴ 平面 ； …………9分
(Ⅲ) 设平面 的法向量为 ,直线 与平面 所成角 ,
则 ,即 ,解得 ,令 ,
则平面 的一个法向量为 ,又
则 ,
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . …………12分
19. (Ⅰ)设指针落在A,B,C区域分别记为 事件A,B,C.
则 ……………………………………3分
若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域.
…………………………………5分
即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是 .
（Ⅱ）由题意得,该顾客可转动转盘2次.
随机变量 的可能值为0,30,60,90,120. ……zxxk………6分
………………………………9分
所以,随机变量 的分布列为：
0306090120
其数学期望
………………………12分
20.（Ⅰ）由题意知,椭圆离心率为 ,得 ,又 ,所以可解得 , ,所以 ,所以椭圆的标准方程为 ；所以椭圆的焦点坐标为（ ,0）,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为 .
21.（理）（本小题满分12分）
（Ⅰ） . 依题意,令 ,解得 .
经检验, 时,符合题意. ……4分
（Ⅱ）① 当 时, . zxxk
故 的单调增区间是 ；单调减区间是 .
② 当 时,令 ,得 ,或 .
当 时, 与 的情况如下：
↘
↗
↘
所以, 的单调增区间是 ；单调减区间是 和 .
当 时, 的单调减区间是 .
当 时, , 与 的情况如下：
↘
↗
↘
所以, 的单调增区间是 ；单调减区间是 和 .
③ 当 时, 的单调增区间是 ；单调减区间是 .
综上,当 时, 的增区间是 ,减区间是 ；
当 时, 的增区间是 ,减区间是 和 ；
当 时, 的减区间是 ；
当 时, 的增区间是 ；减区间是 和 . zxxk
……10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时, 在 上单调递增,由 ,知不合题意.
当 时, 在 的最大值是 ,
由 ,知不合题意.
当 时, 在 单调递减,
可得 在 上的最大值是 ,符合题意.
所以, 在 上的最大值是 时, 的取值范围是 . …………12分
22.如图,在Rt△ABC中, ,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上, ．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若 ,求EC的长．
解（1）取BD的中点O,连接OE．
∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO,
∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE．………………3分
∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC是△BDE的外接圆的切线． 5分
（2）设⊙O的半径为r,则在△AOE中,
,即 解得 , 7分
∴OA=2OE,∴∠A=30°,∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC= ． …………10分
23选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）以极点为原点,极轴为 轴正半轴建立直角坐标系. ----------------1分
--- zxxk -----2分
所以,该直线的直角坐标方程为： ----------------3分
（Ⅱ）圆 的普通方程为： ----------------4分
圆心 到直线 的距离 ---------------5分
所以,圆 上的点到直线的距离的最小值为 --------------- -7分
24选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）当 时,
由 ,得,
① 当 时,不等式化为 即
所以,原不等式的解为 ----------------1分
② 当 时,不等式化为 即
所以,原不等式无解. ----------------2分
③ 当 时,不等式化为 即
所以,原不等式的解为 ----------------3分
综上,原不等式的解为 ------ zxxk -----4分
（说明：若考生按其它解法解答正确,相应给分）
（Ⅱ）因为关于 的不等式 有解,所以, ----------------5分
因为 表示数轴上的点到 与 两点的距离之和,
所以, ----------------6分
解得,
所以, 的取值范围为 ----------------7分