6.1第一型曲面积分有问:

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  • 考虑在第一挂限内所截得的球体曲面面积、x,y,z ≥ 0、在xy面上作积分

    取Σ:z = √(a² - x² - y²)

    z'x = - x/√(a² - x² - y²)、z'y = - y/√(a² - x² - y²)

    √[1 + (z'x)² + (z'y)²] = √[1 + x²/(a² - x² - y²) + y²/(a² - x² - y²)] = a/√(a² - x² - y²)

    取D:x² + y² ≤ ax ==> (x - a)² + y² ≤ a² ==> r ≤ acosθ with 0 ≤ θ ≤ π/2

    所求面积 = 4 * 第一挂限内所截得的球体曲面面积

    = 4 * ∫∫Σ √[1 + (z'x)² + (z'y)²] dxdy

    = 4 * ∫∫D a/√(a² - x² - y²) dxdy

    = 4a * ∫(0,π/2) dθ ∫(0,acosθ) 1/√(a² - r²) * r dr

    = 4a * ∫(0,π/2) (- 1/2) * 2[√(a² - r²):(0,acosθ)] dθ

    = - 4a * ∫(0,π/2) [√(a² - a²cos²θ) - √(a² - 0)] dθ

    = - 4a² * ∫(0,π/2) (sinθ - 1) dθ

    = 4a² * (cosθ + θ):(0,π/2)

    = 2a²(π - 2)