Question

已知a、b、c分别是△ABC中角∠A、∠B、∠C的对边，关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有

Answer 1

解题思路：先把方程整理为一般式，根据判别式的意义得到△=4b²-4（c-a）（a+c）=0，则a²+b²=c²，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，由于a²+b²=c²，3c=a+3b，消去a得（3c-3b）²+b²=c²，变形为（4c-5b）（c-b）=0，则b=[4/5]c，a=[3/5]c，根据正弦函数的定义得sinA=[a/c]，sinB=[b/c]，所以sinA+sinB=[a+b/c]，然后把b=[4/5]c，a=[3/5]c代入计算即可．

方程整理为（c-a）x²+2bx+a+c=0，

根据题意得△=4b²-4（c-a）（a+c）=0，

∴a²+b²=c²，

∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°．

∵a²+b²=c²，3c=a+3b，

∴（3c-3b）²+b²=c²，

∴（4c-5b）（c-b）=0，

∴4c=5b，即b=[4/5]c，

∴a=3c-3b=[3/5]c．

∵sinA=[a/c]，sinB=[b/c]，

∴sinA+sinB=[a+b/c]=

3

5c+

4

5c

c=[7/5]．

点评：

本题考点： 根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．