自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数 .即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 .表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0),一个接一个,组成一个无穷的集体.自然数集有加法和乘法运算,两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数,也可以作减法或除法,但相减和自然数相除的结果未必都是自然数,所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的.自然数是人们认识的所有数中最基本的一类,为了使数的系统有严密的逻辑基础,19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论,使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述.小数的意义 要了解小数的意义,可从分数的意义著手,分数的意义可从子分割及合成活动来解释,当一个整体（指基准量）被等分后,在集聚其中一部份的量称为「分量」,而「分数」就是用来表示或纪录这个「分量」.例如：2/5是指一个整数被分成五等分后,集聚其中二分的「分量」.当整体被分成十等分、百等分、千等分……等时,此时的分量,就使用另外一种纪录的方法－小数.例如1/10记成0.1、2/100记成0.02、5/1000记成0.005……等.其中的「.」称之为小数点,用以分隔整数部分与无法构成整数的小数部分.整数非0者称为带小数,若为0则称纯小数.由此可知,小数的意义是分数意义的一环.二、 小数的结构 小数记数系统是透过书写符号与物理数量的连结,来描述其规则.小数点往前算（左边）用以表示整数部分的量,第一位整数是纪录整数有几个一的量,该位置称为个位；小数点往前算的第二位整数纪录是纪录有几个十的量,该位置称为十位；……,以此类推.小数点往后算（右边）用以表示小数部分（不足1）的量,第一位小数是纪录有几个十分之一的分量,该位置称为十分位；小数点往后算的第二位小数是纪录有几个百分之一的分量,该位置称为百分位……,以此类推.数的多单位记数系统中,「十位」、「个位」、「十分位」、「百分位」……等,被称为「位名」；其所指示的数值「十」、「一」、「0.1」、「0.01」……等,被称为「位值」.「十」、「一」、「0.1」、「0.01」……等,可被用来当作被记数单位.另外,「数」也可以由不同的记数单位「一」、「0.1」、「0.01」……等,来共同表示.从上述的小数结构来看,让学生建构小数的十进结构与位值概念,对学生的小数概念发展而言,是非常重要的.三、 小数学习的认知过程 (一) Hiebert与Wearne的「书写性数学符号能力发展理论」 1.可利用学童所熟悉的指示物与数学符号产生连结.例如,可从生活中的物品(如钱、公制的测量等),或教具(如数学积木)来引出小数的符号来,让学童以后看到「1.8」时,在心中就会有「1杯水和0.8杯水」.2.发展过程是指学童随著在指示物上的操弄,所发展出来的处理符号的程序.例如,学童透过积木的操弄,了解到单位若以"条”表示时会有小数的符号产生,进而发现到：不足一单位的量的表示法,除了分数以外,还有小数.3.精致化是一种扩展语法程序到其他适当的情境的过程.例如,学童藉由积木了解到,以"条”为单位时,会有一位小数出现.而精致化的过程则是可以更进一步类化到两位小数的概念.4.学童如果经常练习语法程序,则可以更有效率的运用数学符号来解决问题.5.学童把之前所学过的数学符号与规则,当作是新的数学符号系统的指示物,并把前述的四个认知过程重新再循环一次,以建立更抽象的数学符号系统.(二)D’Entremont的「小数学习的洋葱模式」 D’Entremont认为小数学习的认知过程包括五种不同的层次,每一种层次是被外面的层次逐层所包围.概念性知识是小数知识的核心,学童为了要获得小数的概念性知识,必须一层一层的把上层的表皮给予剥掉.1.具体物的层次 学童首先遇到的层次是具体物的层次.教师透过真实世界可见的物体引导学童进入小数的世界.例如,我们可用积木来介绍小数的位值概念,若我们把一条积木视为单位「1」,则一个积木视为「0.1」.2.操作说明的层次 教师从原先使用具体物进行教学的方式,转换成以小数的符号表徵形式呈现的教学方式,其教学内容包括小数符号的介绍,以及如何应用小数符号.3.程序的层次 学童不但可以单独的运用符号来进行小数的计算,也可以遵照小数计算的规则来进行运算.但并不会去反省自己刚刚到底做了哪些步骤.因此,即使学童会运算,并不代表该生就一定理解其背后的意义.4.心智模式的层次 学童在心智模式的层次,不但不会盲目的遵循算则公式,而且还能清楚的知道他们解题时的理由.5.抽象的层次 此时学童对於小数已有不错的直觉,不再需要可见的物体来帮助理解,他们对於「如何处理小数的问题」以及「为什麼」接能够给予统整起来.学童唯有达到这个阶段,才可获得小数知识的核心------小数概念的理解.
什么叫自然数?整数包括什么分数的意义是什么