Question

A是n阶方阵，满足Am=E，其中m是正整数，E为n阶单位矩阵．今将A中n2个元素aij用其代数余子式Aij代替，得到的矩

Answer 1

解题思路：在一个n阶行列式D中，把元素a_ij（i，j=1，2，…n）所在的行与列划去后，剩下的（n-1）²个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式M_ij，称为元素a_ij的余子式，M_ij带上符号（-1）^（i+j）称为a_ij的代数余子式，记作

A

ij

＝(−1

)

(i+j)

M

ij

．

因为A^m=E，所以|A|^m=1，所以A可逆．

因为 A0＝

A11…A1n

⋮⋱⋮

Am1…Amn，所以：A0＝(A*)T＝[|A|A−1]T＝|A|(AT)−1

所以

Am0＝[|A|(AT)−1]m＝|A|m[(Am)T]−1＝|A|mE−1＝E．

点评：

本题考点： n阶行列式和n阶行列式的余子式；可逆矩阵的性质．

考点点评： 本题考查用矩阵的可逆性进行证明，是一道难题．