过椭圆x29+y24=1内一点M(2,0)引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是 ___ .

2个回答

  • 解题思路:设出N,A,B的坐标,将A,B的坐标代入椭圆方程,结合N为AB的中点,求出AB的斜率,再利用动弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,求出AB的斜率,从而可得方程,化简即可.

    设N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则

    x12

    9+

    y12

    4=1①,

    x22

    9+

    y22

    4=1②

    ①-②,可得:

    (x1-x2)x

    9+

    (y1-y2)y

    4=0

    y1-y2

    x1-x2=-

    4x

    9y

    ∵动弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,

    当M、N不重合时,有kAB=

    y

    x-2

    ∴[y/x-2=-

    4x

    9y]

    9

    4y2=-x(x-2)

    ∴(x-1)2+

    9

    4y2=1,(m≠2)

    当M、N重合时,即M是A、B中点,M(2,0)适合方程(x-1)2+

    9

    4y2=1,

    则N的轨迹方程为(x-1)2+

    9

    4y2=1,

    故答案为:(x-1)2+

    9

    4y2=1

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.

    考点点评: 本题考查直线与椭圆的综合,考查点差法的运用,这是解决弦中点问题,常用的一种方法.