解题思路:(1)由于年利率为5.5%,且不计复利,故可求所还利息,从而可求第五年底一次性向银行偿还的本息;
(2)设从第三年起每年旧产品投入x万元,新产品投入100-x万元,则旧产品投入的年利润为
P(x)=[−
1
10
(x−30)
2
+20]
,新产品投入的年利润为
Q(100−x)=[−
9
10
(100−100+x)
2
+48(100−100+x)]
从而可表达每年的年利润;
(3)因为P(x)在(0,30)上为增函数,所以可计算前两年利润、后三年利润,进而可以解决问题.
(1)1000+1000×5.5%×5=1275(万元)--(5分)
(2)设从第三年起每年旧产品投入x万元,新产品投入100-x万元,--(7分)
则每年的年利润y=P(x)+Q(100−x)=[−
1
10(x−30)2+20]+[−
9
10(100−100+x)2+48(100−100+x)]
=-(x-27)2+659.--(10分)
所以投入旧产品27万元,投入新产品73万元时,每年可获最大利润659万元.--(12分)
(3)因为P(x)在(0,30)上为增函数,
所以前两年利润为y1=2P(20)=20(万元)
后三年利润y2=3[P(27)+Q(73)]=3×659=1977(万元)--(15分)
由(20+1977)×70%=1397.9>1275,故能还清对银行的欠款.--(17分)
点评:
本题考点: 函数模型的选择与应用.
考点点评: 本题的考点是函数模型的选择与应用,主要考查函数模型的建立,同时利用函数模型解决实际问题,属于中档题.