已知某企业的原有产品每年投入x万元,可获得的年利润表示为函数:P(x)=−110(x−30)2+20(万元).现准备开发

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  • 解题思路:(1)由于年利率为5.5%,且不计复利,故可求所还利息,从而可求第五年底一次性向银行偿还的本息;

    (2)设从第三年起每年旧产品投入x万元,新产品投入100-x万元,则旧产品投入的年利润为

    P(x)=[−

    1

    10

    (x−30)

    2

    +20]

    ,新产品投入的年利润为

    Q(100−x)=[−

    9

    10

    (100−100+x)

    2

    +48(100−100+x)]

    从而可表达每年的年利润;

    (3)因为P(x)在(0,30)上为增函数,所以可计算前两年利润、后三年利润,进而可以解决问题.

    (1)1000+1000×5.5%×5=1275(万元)--(5分)

    (2)设从第三年起每年旧产品投入x万元,新产品投入100-x万元,--(7分)

    则每年的年利润y=P(x)+Q(100−x)=[−

    1

    10(x−30)2+20]+[−

    9

    10(100−100+x)2+48(100−100+x)]

    =-(x-27)2+659.--(10分)

    所以投入旧产品27万元,投入新产品73万元时,每年可获最大利润659万元.--(12分)

    (3)因为P(x)在(0,30)上为增函数,

    所以前两年利润为y1=2P(20)=20(万元)

    后三年利润y2=3[P(27)+Q(73)]=3×659=1977(万元)--(15分)

    由(20+1977)×70%=1397.9>1275,故能还清对银行的欠款.--(17分)

    点评:

    本题考点: 函数模型的选择与应用.

    考点点评: 本题的考点是函数模型的选择与应用,主要考查函数模型的建立,同时利用函数模型解决实际问题,属于中档题.