Question

高数题一道求微分方程x^2y'+xy=y^2满足初始条件y（1）=1的特解.

Answer 1

同时除以x^2*y^2

1/y^2*y'+1/yx=1/x^2

令1/y=u

则d(1/y)/dx=du/dx

即1/y^2*y'=-du/dx

带入：

-du/dx+u/x=1/x^2

一阶非齐次线性方程

使用公式可得：

u=e^(∫1/xdx)(C-∫e^(∫-1/xdx)1/x^2dx）

=x（C+1/2x^2)

带入x=1/y

得xy（C+1/2x^2)=1

y（1）=1

C+1/2=1

C=1/2

特解

xy（1/2+1/2x^2)=1