导数是一种特殊的极限（以下的“极限”都是指该种极限）,当函数在点a附近连续的时候,该极限可能存在,则函数在点a可导,图像在点a处有一条不与y轴平行的切线；
不可导的情况比较复杂：
1）两个单侧极限都存在,但不相等——函数在点a处不可导,但有单侧导数,函数图像在该点处有两条“单侧切线”；
2）某个单侧极限或者两个单侧极限都是无穷大——函数在点a处不可导,也广义地称为函数在点a处有（单侧或双侧的）无穷导数,图像在a点处有平行于y轴切线；
3）极限是其它形式的不存在——函数也不可导,图像在点a处没有切线.
如果函数在点a附近,除a点外的区域（数学上称之为以a为中心的去心邻域）处处可导,可以令x→a求导函数的极限,来确定点a处的导数属于何种情况.
就你给出的函数而言,假设a>0,函数的定义域为(-∞,0]∪[a,+∞)
在原点附近,由于x