Question

求证：偶函数在原点泰勒展开的奇次项系数为零

Answer 1

只需要证明偶函数在0点的2k阶导数是0

需要下面三个结论：

偶函数的导数是奇函数,

奇函数的导数是偶函数

偶函数在0点的导数为0

现在只需要证明f(x)的2k阶导数是偶函数就

行了.

用数学归纳法.

k=0时,f(x)零阶导=f(x)显然成立

设k=n时,f(x)的2n阶导是偶函数

那么k=n+1时,f(x)的2n+2阶导是f(x)2n阶导的2阶导.

由于f(x)的2n阶导是偶函数,所以这的一阶导是奇函数.

所以f(x)的2n阶导的2阶导是偶函数.

所以也成立.

证毕