解题思路：（1）由对数函数的真数大于零求解．
（2）当函数在定义域上单调时，则不存在，当函数在定义域上不单调时，则存在，所以要证明函数是否单调，可用定义法，也可用导数法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”则需函数的最小值非负即可，由（2）可知是增函数，所以只要f（1）≥0即可．
（1）由ax-bx＞0得(
a
b)x＞1＝(
a
b)0，
由于(
a
b)＞1所以x＞0，
即f（x）的定义域为（0，+∞）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
f(x1)＝lg(ax1−bx1)，f(x2)＝lg(ax2−bx2)；
f（x1）-f（x2）=(ax1−bx1)−(ax2−bx2)＝(ax1−ax2)+(bx2−bx1)
∵a＞1＞b＞0，
∴y=ax在R上为增函数，y=bx在R上为减函数，
∴ax1−ax2＜0，bx2−bx1＜0
∴(ax1−bx1)−(ax2−bx2)＜0，即(ax1−bx1)＜(ax2−bx2)
又∵y=lgx在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函函数f（x）的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
（3）因为f（x）是增函数，所以当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），
这样只需f（1）=lg（a-b）≥0，
即当a-b≥1时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．
点评：
本题考点： 对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．
考点点评： 本题主要考查函数的定义域，单调性及最值，这是常考常新的类型，在转化问题和灵活运用知识，方法方法要求较高．