已知直线x=my+1过椭圆C：x2a+y2b=1（ - 知识问答

已知直线x=my+1过椭圆C：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的右焦点F2，且交椭圆于A，B两点，已知椭圆的离心率为方程

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解题思路：（1）解方程2x²+x-1=0，得椭圆C：
x
2
a
+
y
2
b
=1（a＞b＞0）的离心率为
e＝
c
a
＝
1
2
，由直线x=my+1过椭圆C：
x
2
a
+
y
2
b
=1（a＞b＞0）的右焦点F₂，得k=1，由此能求出△F₁AB的周长为定值，定值为8．
（2）△F₁AB的内切圆半径最大时，|AF₂|=|BF₂|，由此能求出m=0．
（1）证明：解方程2x²+x-1=0，得x₁=-1，x 2＝
1
2，
由题意知椭圆C：
x2
a+
y2
b=1（a＞b＞0）的离心率为e＝
c
a＝
1
2，
∴a=2k，b=
3k，c=k，（k＞0），∴F₂（k，0），
∵直线x=my+1过椭圆C：
x2
a+
y2
b=1（a＞b＞0）的右焦点F₂，
∴k=1，∴椭圆方程为
x2
4+
y2
3＝1，
∴△F₁AB的周长L=4a=8，
∴△F₁AB的周长为定值，定值为8．
（2）△F₁AB的内切圆半径最大时，
|AF₂|=|BF₂|，
此时直线方程为x=my+1=1，
解得m=0．
点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评：本题考查三角形周长为定值的证明，考查三角形内切圆半径最大时实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

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