函数f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在区间[-1,1]上有零点,求实数a的取值范围.

2个回答

  • 解题思路:当a=0时,f(x)=x-1满足条件;当a≠0时,函数f(x)在区间[-1,1]上有零点分为三种情况:①方程f(x)=0在区间[-1,1]上有重根,②若函数y=f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点,但不是f(x)=0的重根,③若函数y=f(x)在区间[-1,1]上有两个零点,分类讨论求出满足条件的a的范围后,综合讨论结果,可得答案.

    当a=0时,f(x)=x-1,令f(x)=0,得x=1,是区间[-1,1]上的零点.

    当a≠0时,函数f(x)在区间[-1,1]上有零点分为三种情况:

    ①方程f(x)=0在区间[-1,1]上有重根,

    令△=1-4a(-1+3a)=0,解得a=−

    1

    6或a=

    1

    2.

    当a=−

    1

    6时,令f(x)=0,得x=3,不是区间[-1,1]上的零点.

    当a=

    1

    2时,令f(x)=0,得x=-1,是区间[-1,1]上的零点.

    ②若函数y=f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点,但不是f(x)=0的重根,

    令f(1)f(-1)=4a(4a-2)≤0,解得0<a≤

    1

    2.

    ③若函数y=f(x)在区间[-1,1]上有两个零点,

    a>0

    △=−12a2+4a+1>0

    −1<−

    1

    2a<1

    f(1)≥0

    f(−1)≥0.或

    a<0

    △=−12a2+4a+1>0

    −1<−

    1

    2a<1

    f(1)≤0

    f(−1)≤0.

    解得a∈∅.

    综上可知,实数a的取值范围为[0,

    1

    2].

    点评:

    本题考点: 函数的零点.

    考点点评: 本题考查二次函数与方程之间的关系,二次函数在给定区间上的零点问题,要注意函数图象与x轴相切的情况,属于中档题.