Question

已知函数f（x）的定义域为R，任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y），且当x≥0时f（x）≥1，解不等式f（x

Answer 1

解题思路：由条件令x=y=[t/2]，则f（t）=f²（[t/2]）≥0，舍去等号，再令x=y=0即有f（0）=1．再令m≤n，则n-m≥0，即有f（n-m）≥1，再由条件即可得到f（x）在R上递增，则f（x）＜

1

f(x+1)

，即为f（x）f（x+1）＜1，由已知条件和单调性即可得到解集．

∵任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y），

∴令x=y=

t/2]，则f（t）=f²（[t/2]）≥0，

由当x≥0时f（x）≥1，显然f（t）＞0，

再令x=y=0，则f（0）=f²（0），即有f（0）=1．

再令m≤n，则n-m≥0，即有f（n-m）≥1，

则f（n）=f（n-m+m）=f（n-m）f（m）≥f（m），

即有f（x）在R上递增，

则f（x）＜[1

f(x+1)，即为f（x）f（x+1）＜1，

即有f（2x+1）＜1=f（0），

由f（x）在R上递增，

则2x+1＜0，解得x＜-

1/2]．

故不等式的解集为（-∞，-[1/2]）．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性及运用解不等式，属于中档题．