已知抛物线y=-x2-2mx-m2+2m+1的顶点坐标为(-1,3),

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  • 解题思路:(1)将抛物线的解析式化为顶点坐标式,然后用m表示出抛物线的顶点坐标,即可求得m的值;

    (2)设出点P的横坐标,根据抛物线和直线y=2x的解析式可表示出P、Q的纵坐标,进而可得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得PQ的最大值;

    (3)显然∠PQO<90°,那么可分两种情况考虑:

    ①∠OPQ=90°,此时P为抛物线与x轴的交点,根据抛物线的解析式,即可求得点P坐标,将点P的横坐标代入直线y=2x中,即可求得点Q的坐标;

    ②∠POQ=90°,若设PQ与x轴的交点为D,在Rt△OPQ中,OD⊥PQ,根据射影定理得OD2=DP•DQ,由此可得到关于P点横坐标(即Q点横坐标)的方程,从而求得Q点横坐标,将其代入直线y=2x中,即可求得Q点坐标.

    (1)由于抛物线y=-x2-2mx-m2+2m+1=-(x+m)2+2m+1,

    即顶点坐标(-m,2m+1),

    而抛物线的顶点坐标为(-1,3);

    故m=1;(2分)

    (2)由(1)可知抛物线的解析式为y=-(x+1)2+3,

    即y=-x2-2x+2;

    设P(x,-x2-2x+2),

    因为PQ∥y轴,

    所以设Q(x,2x),

    所以:PQ=(-x2-2x+2)-2x=-x2-4x+2=-(x+2)2+6;(2分)

    当x=-2时,PQ最大值=6;(2分)

    (3)因为∠PQO不可能为直角,

    所以分两种情形讨论:

    ①当∠QPO为直角时,P为抛物线与x轴的左侧的交点;

    抛物线:y=-x2-2x+2,令y=0-x2-2x+2=0,

    解得:x1=-1+

    3,x2=-1-

    3;

    所以P(-1-

    3,0);(1分)

    当x=-1-

    3时,y=2x=2(-1-

    3)=-2-2

    3,

    所以Q(-1-

    3,-2-2

    3);(2分)

    ②当∠POQ为直角时,设PQ与x轴交于D点;

    根据题意:△OPD∽△OQD,

    得:OD2=PD•QD;

    即x2=(-x2-2x+2)(-2x),

    解得x=

    −3±

    41

    4,

    取x<0,则x=

    −3−

    41

    4;

    当x=

    −3−

    41

    4时,y=2x=

    −3−

    41

    2,

    所以Q(

    −3−

    41

    4,

    −3−

    41

    2);(2分)

    所以,符合条件的Q坐标为(-1-

    3,-2-2

    3)或(

    −3−

    41

    4,

    −3−

    41

    2).(1分)

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用、直角三角形的判定等知识;(3)题中,由于直角三角形的直角顶点不确定,一定要分类讨论,以免漏解.