解题思路:(1)将抛物线的解析式化为顶点坐标式,然后用m表示出抛物线的顶点坐标,即可求得m的值;
(2)设出点P的横坐标,根据抛物线和直线y=2x的解析式可表示出P、Q的纵坐标,进而可得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得PQ的最大值;
(3)显然∠PQO<90°,那么可分两种情况考虑:
①∠OPQ=90°,此时P为抛物线与x轴的交点,根据抛物线的解析式,即可求得点P坐标,将点P的横坐标代入直线y=2x中,即可求得点Q的坐标;
②∠POQ=90°,若设PQ与x轴的交点为D,在Rt△OPQ中,OD⊥PQ,根据射影定理得OD2=DP•DQ,由此可得到关于P点横坐标(即Q点横坐标)的方程,从而求得Q点横坐标,将其代入直线y=2x中,即可求得Q点坐标.
(1)由于抛物线y=-x2-2mx-m2+2m+1=-(x+m)2+2m+1,
即顶点坐标(-m,2m+1),
而抛物线的顶点坐标为(-1,3);
故m=1;(2分)
(2)由(1)可知抛物线的解析式为y=-(x+1)2+3,
即y=-x2-2x+2;
设P(x,-x2-2x+2),
因为PQ∥y轴,
所以设Q(x,2x),
所以:PQ=(-x2-2x+2)-2x=-x2-4x+2=-(x+2)2+6;(2分)
当x=-2时,PQ最大值=6;(2分)
(3)因为∠PQO不可能为直角,
所以分两种情形讨论:
①当∠QPO为直角时,P为抛物线与x轴的左侧的交点;
抛物线:y=-x2-2x+2,令y=0-x2-2x+2=0,
解得:x1=-1+
3,x2=-1-
3;
所以P(-1-
3,0);(1分)
当x=-1-
3时,y=2x=2(-1-
3)=-2-2
3,
所以Q(-1-
3,-2-2
3);(2分)
②当∠POQ为直角时,设PQ与x轴交于D点;
根据题意:△OPD∽△OQD,
得:OD2=PD•QD;
即x2=(-x2-2x+2)(-2x),
解得x=
−3±
41
4,
取x<0,则x=
−3−
41
4;
当x=
−3−
41
4时,y=2x=
−3−
41
2,
所以Q(
−3−
41
4,
−3−
41
2);(2分)
所以,符合条件的Q坐标为(-1-
3,-2-2
3)或(
−3−
41
4,
−3−
41
2).(1分)
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用、直角三角形的判定等知识;(3)题中,由于直角三角形的直角顶点不确定,一定要分类讨论,以免漏解.