Question

设直线y=kx+1与圆C：x2+y2-2kx-2my-7=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由M，N关于直线x+y=0对称，可知所求的直线的斜率k=1，根据圆的性质可得直线y+x=0过圆的圆心C（1，m）代入可求m

（Ⅱ）把x=ay+1代入（x-1）²+（y+1）²=9得（1+a²）y²+2y-8=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

y

1

+

y

2

＝

−2

1+

a

2

，

y

1

y

2

＝

−8

1+

a

2

，若OP⊥OQ，则有x₁x₂+y₁y₂=0，代入整理可求

（Ⅰ）由M，N关于直线x+y=0对称，可知所求的直线的斜率k=1

∵根据圆的性质可得直线y+x=0过圆的圆心C（1，m）

∴m=-1

（Ⅱ）把x=ay+1代入（x-1）²+（y+1）²=9得（1+a²）y²+2y-8=0

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2＝

−2

1+a2，y1y2＝

−8

1+a2

若OP⊥OQ，则有x₁x₂+y₁y₂=（ay₁+1）（ay₂+1）+y₁y₂=（1+a²）y₁y₂+a（y₁+y₂）+1=−8+

−2a

1+a2+1＝0

即7a²+2a+7=0，方程无实数根，所以满足条件的实数a不存在．

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆的方程的性质的应用，解（I）的关键是根据圆的性质可得直线x+y=0过圆心的条件，而

（II）是直线与圆的一般类型的试题，体现了方程的思想的应用．