求证“二项展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和”

2个回答

  • 定理(1)二项式系数和等于2^n

    ∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n

    令x=1得

    Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n

    定理2:奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和

    ∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n

    令x=1得

    Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n ①

    令x=-1得

    Cn0-Cn1x+Cn2x^2-Cn3x^3+…+Cnn(-x)^n=0 ②

    由②得

    Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…

    所以奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和

    再代入①得

    Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2^(n-1)