已知函数f(x)=13x3+ax+b(a,b∈R)在x=2处取得极小值−43.

2个回答

  • 解题思路:(I)根据题意,结合导数的性质可得函数f(x)满足f′(2)=0且f(2)=-[4/3],由此建立关于a、b的方程组,解出a、b的值即可得到函数f(x)的解析式.

    (II)由(I)可得f′(x)=x2-4=0的两个根x1=-2,x2=2.由此将区间[-4,3]分为3个部分,结合表格可得函数在[-4,3]上的3个单调区间,比较区间端点的函数值和函数的极大、极小值,即可得到f(x)在[-4,3]上的最大值和最小值.

    (I)对f(x)求导函数,可得f′(x)=x2+a

    ∵函数在x=2处取得极小值-[4/3],∴f′(2)=0,f(2)=-[4/3]

    可得4+a=0且[8/3]+2a+b=-[4/3],解之得a=-4,b=4

    ∴可得f(x)=[1/3]x3-4x+4.

    (II)由(I)得f′(x)=x2-4

    解方程f′(x)=0,得x=2或-2

    由此列出如下表格:

    根据表格,可得函数f(x)在[-4,3]上的最大值为f(-2)=[28/3],最小值为−

    4

    3.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 本题给出三次多项式函数,求函数的解析式并讨论函数在[-4,3]上的最大值和最小值.着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数最值的求法等知识,属于中档题.