链式法则,毫无技术含量的纯体力活展开就好了,这应该是某个偏微分方程课里的小题吧?
偏u/偏x = 偏u/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏u/偏η 偏η/偏x
注意 偏ζ/偏x = 1 偏η/偏x = 1
所以 偏u/偏x = 偏u/偏ζ+偏u/偏η
偏2u/偏x2= 偏(偏u/偏ζ + 偏u/偏η)/偏x=偏(偏u/偏ζ )/偏x + 偏(偏u/偏η)/偏x
注意把 偏u/偏ζ 看成一个整体,再用一次
偏(偏u/偏ζ )/偏x = 偏(偏u/偏ζ )/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏(偏u/偏ζ )/偏η 偏η/偏x
=偏(偏u/偏ζ )/偏ζ+ 偏(偏u/偏ζ )/偏η = 偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η
同样的
偏(偏u/偏η)/偏x= 偏(偏u/偏η )/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏(偏u/偏η )/偏η 偏η/偏x
=偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
带回去,得到
偏2u/偏x2 = 偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
= 偏2u/偏ζ2+2偏2u/偏ζ偏η+偏2u/偏η2
类似的
偏u/偏y = 偏u/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏u/偏η 偏η/偏y
注意 偏ζ/偏y = -1 偏η/偏y = 1
所以 偏u/偏y = -偏u/偏ζ+偏u/偏η
偏2u/偏y2= 偏(-偏u/偏ζ + 偏u/偏η)/偏y=-偏(偏u/偏ζ )/偏y + 偏(偏u/偏η)/偏y
偏(偏u/偏ζ )/偏y = 偏(偏u/偏ζ )/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏(偏u/偏ζ )/偏η 偏η/偏y
=-偏(偏u/偏ζ )/偏ζ+ 偏(偏u/偏ζ )/偏η =-偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η
同样的
偏(偏u/偏η)/偏y= 偏(偏u/偏η )/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏(偏u/偏η )/偏η 偏η/偏y
=-偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
带回去,得到
偏2u/偏y2 = -(-偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η) + (-偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2)
= 偏2u/偏ζ2-2偏2u/偏ζ偏η+偏2u/偏η2
所以 偏2u/偏x2 - 偏2u/偏y2 = 4偏2u/偏ζ偏η
所以 偏2u/偏x2 - 偏2u/偏y2 =0 等价于 偏2u/偏ζ偏η = 0
没有任何技巧,有耐心一步一步展开就好了