Question

将10拆为若干个自然数之和,再求出这些加数的乘积,不同的拆分法,乘积也不同,问这个乘积最大可能是多少

Answer 1

不论拆分成多少个,最终都可以把若干个先合并在一起,看成 2 个.

设 10 = a + b

100 = (a+b)^2

100 = a^2 + b^2 + 2ab

因为 (a-b)^2 ≥ 0 恒成立,

所以 2ab ≤ a^2 + b^2.且在 a=b 时,2ab 取最大值.

因此 由 100 = a^2 + b^2 + 2ab 得到

100 ≥ 4ab

ab ≤ 25

当 a = b = 5 时,ab 取最大值 25.

现在的问题化为

5 = x+y

xy 的最大值是多少.（x、y是整数）

因为 5 = 1 + 4 = 2+3 = 0+5

所以 显然 xy 的最大值是 2*3 = 6

因此 把10化成 10 = 2+3+2+3 时,各加数的乘积取最大值 36.