Question

设f（x）=ex（ax2+3），其中a为实数．

Answer 1

解题思路：（1）当a=-1时，有f（x）=e^x（-x²+3），求导确定函数的单调性，由单调性求极值；

（2）要使f（x）为[1，2]上的单调函数，则f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≥0或f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≤0恒成立，从而转化为最值问题．

（1）当a=-1时，有f（x）=e^x（-x²+3），

f′（x）=e^x（-x²+3）-2xe^x

=-e^x（x+3）（x-1），

由f′（x）＞0得，x∈（-3，1），

故f（x）在（-3，1）上单调递增，

由f′（x）＜0得，x∈（-∞，-3），（1，+∞），

故f（x）在（-∞，-3），（1，+∞），上单调递减，

∴f_极小值（x）=f（-3）=-6e^-3，f_极小值（x）=f（1）=2e．

（2）要使f（x）为[1，2]上的单调函数，

则f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≥0或

f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≤0恒成立，

即a≥（[-3

x2+2x）_max=-

3/8]，

或a≤（[-3

x2+2x）_min=-1，

故a≥-

3/8]或a≤-1．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，属于中档题．