Question

已知f（x）=[2x/x+1]，当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤[2m(x+1)|x−m|

Answer 1

解题思路：由题目条件对不等式化简得x≤

m

|x−m|

，由恒成立知m∉[1，2]，对m讨论，将恒成立问题化为最值问题．

∵f（x）=

2x/x+1]，

∴不等式f（x）≤[2m

(x+1)|x−m|可化为

2x/x+1]≤[2m

(x+1)|x−m|；

又∵x∈[1，2]，

则x≤

m

|x−m|，

则x×|x-m|-m≤0，

∵当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤

2m

(x+1)|x−m|恒成立，

∴m∉[1，2]．

①当m＜1时，x²-mx-m≤0在[1，2]上恒成立，

∵g（x）=x²-mx-m在[1，2]上单调递增；

∴g（2）=4-3m≤0，则m≥

4/3]，不成立．

②当m＞2时，x²-mx+m≥0在[1，2]上恒成立，

（Ⅰ）当2＜m＜4时，g（x）=x²-mx+m在[1，2]上的最小值为

g（[m/2]）=（[m/2]）²-m×[m/2]+m=m−

m2

4≥0

解得，2＜m＜4．

（Ⅱ）当m≥4时，g（x）=x²-mx+m在[1，2]上单调递减；

∴g（2）=4-m≥0，则m=4．

综上所述，2＜m≤4．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了学生化简的能力，转化的思想及分类讨论的思想，综合性较强，属于中档题．