已知函数f(x)=ax+1-2(a>0,且a≠1)设f-1(x)是f(x)的反函数.

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  • 解题思路:(I)欲求原函数f(x)=ax+1-2的反函数,即从原函数式中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.先研究f-1(x)在[0,1]的单调性,得到当x取何值时,此函数取得最值,最后得到等式:f-1(0)+f'(1)=0,解此关于a方程即可求得a值;

    (II)由对数函数的图象可知,f-1(x)的图象不经过第二象限的充要条件是f-1(x)的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上,从而列出等式求出图象与x轴交点横坐标x=a-2,令其非负即可求得a的取值范围.

    (I)因为ax+1>0,所以f(x)的值域是{y|y>-2}.(2分)设y=ax+1-2,解得x=loga(y+2)-1.当a>1时,f-1(x)=loga(x+2)-1为(-2,+∞)上的增函数,(6分)所以f-1(0)+f'(1)=0即(loga2-1)+(loga3-1)=0...

    点评:

    本题考点: 反函数;函数的值域;函数的图象与图象变化.

    考点点评: 本题考查反函数的求法、对数函数的图象变换及其性质,属于对数函数综合题目.