Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点Q是抛物线C上一点且Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5．（Ⅰ

Answer 1

（Ⅰ）由题意有Q（[8/p]，4），则有|QF|=[8/p+

p

2]=5，

解得p=2或p=8，

所以，抛物线方程为y²=4x或y²=16x．…（5分）

（Ⅱ）∵p＜8，∴y²=4x．

假设在抛物线C上存在点E，使得EA⊥EB总成立．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₀，y₀），

则有（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，

即

(y12?y02)(y22?y02)

16+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，

又（y₁-y₀）（y₂-y₀）≠0，

得（y₁+y₀）（y₂+y₀）+16=0，

即y1y2+y0(y1+y2)+y02+16＝0，…①…（9分）

设直线方程为x=m（y+2）+5，代入y²=4x中，

有y²-4my-8m-20=0，从而y₁+y₂=4m，且y₁y₂=-8m-20，

代入①中得：（4y₀-8）m+y02-4=0对于m∈R恒成立，

故4y₀-8=0，且y02?4＝0，解得y₀=2，得E（1，2）．…（14分）

若直线过点（1，2），结论显然成立

所以，在抛物线C上存在点E（1，2），使得

EA?

EB＝0总成立．…（15分）