Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）通过通经长为4，可得，p=2，进而求出抛物线的方程．

（Ⅱ）先设出过点Q（2，0）的直线方程，因为存在另一动点G，使得直线GC，GQ，GD的斜率依次成等差数列，分别求出直线GC，GQ，GD的斜率，再根据直线GC，GQ，GD的斜率依次成等差数列，找出等式，求解．

（Ⅰ）∵过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4．∴2p=4，p=2

∴抛物线的方程为y²=4x

（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（X₂，Y₂）

设过点Q（2，0）的直线方程为x=ky+2，由

y2＝4x

x＝ky+2得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-8

设G（x₀，y₀），k_GC+k_GD=

y1−y0

x1−x0+

y2−y0

x2−x0=

y1−y0

ky1+(2 −x0)+

y2−y0

ky2+(2 −x0)

=

−16k−4k2y0+4k(2−x0)− 2 (2−x0)y0

−8k2+4k2(2−x0)+ (2−x0)2①

k_GQ=2

y0

x0−2②，

化简得x₀=-2

所以动点G一定在定直线x₀=-2上．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查了抛物线与直线的位置关系，计算量较大，应认真对待．