已知f (x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,并且f (x)<0对一切x∈R成立,试判断

2个回答

  • 解题思路:由题意,可先设x1<x2<0,得到-x1>-x2>0,再由函数在(0,+∞)上单调递增及偶函数的性质即可得到

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    f(x)

    在(-∞,0)上的单调性

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    f(x)是(-∞,0)上的单调递减函数,证明如下:

    设x1<x2<0,则-x1>-x2>0,

    ∴f(-x1)>f(-x2),

    ∵f(x)为偶函数,

    ∴f(x1)>f(x2

    又−

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    f(x)−[−

    1

    f(x2)]=

    1

    f(x2)−

    1

    f(x1)=

    f(x1)−f(x2)

    f(x2)f(x1)>0

    (∵f(x1)<0,f(x2)<0)

    ∴−

    1

    f(x1)>−

    1

    f(x2),

    ∴−

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    f(x)是(-∞,0)上的单调递减函数.

    点评:

    本题考点: 奇偶性与单调性的综合.

    考点点评: 本题考查定义法证明函数的单调性及偶函数的性质,灵活利用性质判断出函数值的大小是解答的关键,本题属于抽象函数单调性的证明,此类题有一定的难度,作答时注意函数值间接判断的方法