Question

已知f(x)=X³-X,若过点(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求m的取值范围

Answer 1

设切点为(t,t³-3t)

f'(x)=3x²-3,

则切线方程为y=(3t²-3)(x-t)+t³-3t

整理得y=(3t²-3)x-2t³

把A(1,m)代入整理得:2t³-6t²+m+6=0 ①

因为可作三条切线,所以①有三个解

记g(t)=2t³-6t²+m+6

则g'(t)=6t²-12t=6t(t-2)

所以当t=0时,极大值g(0)=m+6,

当t=2时,极小值g(1)=m-2

要使g(t)有三个零点,只需

m+6>0且m-2