Question

在锐角三角形ABC的边上分别作等腰直角三角形ABP和等腰直角三角形AQC,其中角APB和角AQC都是直角,M是BC中点,

Answer 1

设AB=c,AC=b,BC=a;角BAC为α,角ABC为β,角BCA为γ.在三角形PMB中应用余弦定理PM^2=PB^2+BM^2-2cos角PBM*PB*BM 其中PB=√2/2c BM=1/2a 角PBM=β+π/4 化简得到PM^2=c^2/2+a^2/4-(cosβ-sinβ)ac/2

同理,在三角形QMC中可以得到 QM^2=b^2+a^2-(cosγ-sinγ)ab/2

在三角形ABC中 b/sinβ=c/sinγ=a/sinα

2ac*cosβ=a^2+b^2-c^2

2ab*cosγ=a^2+c^2-b^2

分别带入上面的式子,得到PM^2-QM^2=0 即PM=QM 三角形PQM为等腰三角形

在三角形PAQ中,角PAQ=α+π/2 ,应用余弦定理,可以得到PQ^2=c^2/2+b^2/2+bc*sinα

带入就可以得到PM^2+QM^2=PQ^2 三角形为直角三角形.

综上,三角形PMQ为等腰直角三角形