Question

已知命题：“∃x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x2-x-m=0成立”是真命题，

Answer 1

解题思路：（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；

（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，③当a=2-a即a=1时，N=φ三种情况进行求解

（1）由x²-x-m=0可得m=x²-x=(x−

1

2)2−

1

4

∵-1＜x＜1

∴−

1

4≤m＜2

M={m|−

1

4≤m＜2}

（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N

①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，则

2−a＜−

1

4

a≥2

a＞1即a＞

9

4

②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，则

a＜1

a＜−

1

4

2−a≥2即a＜−

1

4

③当a=2-a即a=1时，N=φ，此时不满足条件

综上可得a＞

9

4或a＜−

1

4

点评：

本题考点： 复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．