Question

证明：已知a.b.c为正数,根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=根号2(a+b+c

Answer 1

基本不等式

a^2+b^2>=2ab

2a^2+2b^2>=a^2+2ab+b^2

√(2a^2+2b^2)>=a+b

同理√(2a^2+2c^2)>=a+c

√(2c^2+2b^2)>=c+b 相加得

√(2a^2+2b^2)+√(2a^2+2c^2)+√(2c^2+2b^2)>=a+b+a+c+c+b=2(a+b+c)

√2[√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)]>=2(a+b+c)

所以√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)>=（√2）(a+b+c)