泛函分析（Functional Analysis）
从现代观点来看,泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间.这类空间被称为巴拿赫空间,巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间.
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泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的空间.泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的.使用泛函作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数.巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一,而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献.
赋范线性空间
从现代观点来看,泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间.这类空间被称为巴拿赫空间,巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出.这类空间是量子力学数学描述的基础.更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间.
泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子.这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念.
希尔伯特空间
希尔伯特空间(Hilbert)可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个希尔伯特空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构.对于有限维希尔伯特空间而言,其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换.对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为ℵ0）上的态射,所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射.希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间.该问题在某些特定情况下的答案是肯定的.