解题思路：（Ⅰ）利用图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值
−
2
5
，建立方程，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断；
（Ⅲ）利用导数的应用求函数在[-1，1]上的最大值和最小值即可．
（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，
∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c．
∵x=1时，f（x）取极小值−
2
5，
∴3a+c=0且 a+c=−
2
5．
解得a=[1/5]，c=−
3
5．
∴f（x）=[1/5x3−
3
5x…4
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
假设图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=
3
5]（x2-1）知两点处的切线斜率分别为k1=[3/5](
x21−1)，k2=[3/5(
x22−1)，且
9
25(
x21−1)(
x22−1)=1 （*）
∵x1，x2∈[-1，1]，
∴
x21]-1≤0，
x22-1≤0
∴（
x21-1）（
x22-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立…（8分）（文12分）
（Ⅲ）证明：f′（x）=[3/5]（x2-1），令f′（x）=0，得x=±1
∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=[2/5]，fmin（x）=f（1）=−
2
5．
∴在[-1，1]上|f（x）|≤[2/5]，于是x1，x2∈[-1，1]时，
|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤[2/5+
2
5＝
4
5]…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，要求熟练掌握导数的应用．运算量较大，综合性较强．