Question

-√2≤sinθ+cosθ≤√2怎么用柯西不等式证明?

Answer 1

当sinθ、cosθ均大于等于0时会取得最大值,下面证明最大值：

（1+1）（sinθ+cosθ）≤（√（sinθ）+√（cosθ））²

2（sinθ+cosθ） ≤sinθ+2√（sinθcosθ）+cosθ

sinθ+cosθ≤√（2sin2θ） 这里用了一个三角公式：2sinθcosθ=sin2θ

∵sinθ、cosθ均大于等于0

∴sin2θ大于等于0

∴sinθ+cosθ≤√2

左面的就是讨论当sinθ、cosθ均小于0时就可以了,注意加负号,因为柯西不等式只适用于非负数