解题思路：由于正数a，b满足a+b=1，可化为[a/a+1]+[b/b+1]=
a(b+1)+b(a+1)
(a+1)(b+1)
=2-[3/ab+2]，再利用
ab≤(
a+b
2
)
2
即可得出．
∵正数a，b满足a+b=1，
∴[a/a+1]+[b/b+1]=
a(b+1)+b(a+1)
(a+1)(b+1)=[2ab+a+b/ab+a+b+1]
=[2ab+1/ab+2]=
2(ab+2)−3
ab+2=2-[3/ab+2]≤2−
3
(
a+b
2)2+2=2−
3
1
4+2=[2/3]．当且仅当a=b=[1/2]时取等号．
∴[a/a+1]+[b/b+1]的最大值是[2/3]．
故答案为：[2/3]．
点评：
本题考点： 基本不等式．
考点点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．