Question

已知x、y属于R+,且满足X=Y=1,求代数式1/X^2+1/Y^2的最小值

Answer 1

1/X^2+1/Y^2=x^2+Y^2/(x^2*Y^2)=

[(x+y)^2-2xy]/(x^2*y^2)=

1/(x^2*y^2)-2xy/(x^2*y^2)=1/(x^2*y^2)-2/(x*y)

令t=x*y=x*(1-x),求导可得t在（0,1/2）单调递增,[1/2,1)单调递减,

tmax=t(1/2)=1/4,t属于（0,1/4]

令p=1/t,p属于[4,+无穷)

原式=p^2-2p,求导在区间[4,+无穷）单调递增,原式min=4^2-2*4=8