Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x＝−12，直线x-y-2=0与抛物线相交于M，N两点．

Answer 1

解题思路：（1）y²=2px（p＞0）的准线方程为

x＝−

p

2

，故p=1．由此能求出抛物线方程．

（2）将x=y+2代入y²=2x，得y²-2y-4=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁y₂=-4，由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，得

x

1

x

2

＝

(

y

1

y

2

)

2

4

＝4

，由此能导出OM⊥ON．

（1）∵y²=2px（p＞0）的准线方程为x＝−

p

2，

∴p=1．

∴抛物线方程为y²=2x．

（2）证明：将x=y+2代入y²=2x，消去x，整理，得y²-2y-4=0，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

∵M，N的纵坐标y₁，y₂是y²-2y-4=0的两个根，

∴y₁y₂=-4，

由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，得

y₁²y₂²=4x₁x₂，

∴x1x2＝

(y1y2)2

4＝4，

∵

OM•

ON＝x1x2+y1y2＝0，

∴

OM⊥

ON，

∴OM⊥ON．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查抛物线方程的求法和直线垂直的证明，是基础题．解题时要认真审题，注意直线和抛物线位置关系的综合运用．