已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角

3个回答

  • 解题思路:先利用二倍角公式将方程2cos2B-8cosB+5=0化为关于cosB的方程,解得cosB,从而由B的范围确定角B的大小,再由余弦定理结合a、b、c成等差数列,得三角形边的关系,最后确定三角形形状

    由2cos2B-8cosB+5=0,可得4cos2B-8cosB+3=0,

    即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.

    解得cosB=

    1

    2或cosB=

    3

    2(舍去).

    ∵0<B<π,∴B=

    π

    3

    又∵a,b,c成等差数列,即a+c=2b.

    ∴cosB=

    a2+c2−b2

    2ac=

    a2+c2−(

    a+c

    2)2

    2ac=

    1

    2,

    化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c,

    ∵B=

    π

    3

    ∴△ABC是等边三角形.

    点评:

    本题考点: 数列与三角函数的综合;三角形的形状判断.

    考点点评: 本题考查了二倍角公式,简单的三角方程解法,余弦定理及其推论的用法,判断三角形形状问题的一般解决方法