Question

已知O为三角形ABC的外心,且AC平方-2AC+AB平方=0,则BC向量与AO向量的数量积取值范围

Answer 1

O是△ABC三边中垂线的交点,即O是三角形的外接圆圆心.

延长AO交外接圆于D.cosDAC=AC/AD,cosDAB= AB/AD,

AO*BC=1/2AD*(AC-AB)

=1/2(AD*AC-AD*AB)

=1/2(|AD||AC|cosDAC-|AD||AB|cosDAB)

=1/2(|AD||AC|* AC/AD-|AD||AB|* AB/AD)

=1/2(|AC|^2-|AB|^2)

因为AC^2-2|AC|+AB^2＝0,代入上式可得：

AO*BC=1/2(|AC|^2+AC^2-2|AC|)

= AC^2-|AC|

=(|AC|-1/2)^2-1/4,

AC^2-2|AC|+AB^2＝0,则AB^2＝-AC^2+2|AC|

因为AB^2>0,所以-AC^2+2|AC|>0,所以0