(1) f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f′(x)的图像开口向下, a < 0
f'(x)过(-2,0),(2/3,0), 则可表达为f'(x) = 3a(x + 2)(x - 2/3)
展开并比较系数,得b = 2a, c = -4a
f(x) = ax³ + 2ax² - 4ax
从f'(x)的图像易知,
x < -2时,f'(x) < 0; x > -2时, f'(x) > 0, 即f(-2)为f(x)的极小值.
f(-2) = -8a + 8a + 8a = 8a = -8
a = -1
f(x) = -x³ - 2x² + 4x
(2)
从f'(x)的图像易知,
x < 2/3时,f'(x) > 0; x > 2/3时, f'(x) < 0, 即f(2/3)为f(x)的极大值.
x趋于负无穷时,f(x)趋于正无穷；f(-2) = -8 <0, f(x)的图像与x轴在(-∞, -2)内有一个交点.
f(2/3) = 40/27 > 0; f(x)的图像与x轴在(-2, 2/3)内有一个交点.
x趋于负无穷时,f(x)趋于负,无穷, f(x)的图像与x轴在(2/3, ∞)内有一个交点.
要使f(x)+p=0只有一个实数根,只需将f(x)的图像向上平移,直到极小值点在x轴上方,即p>8