1、一元函数涉及的是两维曲线,多元函数涉及到的是至少是三维的曲面.
一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑；
多元函数的可导可微,必须从各个角度,各个方向,各个侧面,进行前后、
左右、上下、侧斜等等方向的左右两侧考虑.
2、一元函数,只要曲线光滑--没有尖点、没有断点,切线垂直于x轴就行,
也就是不能斜率为无穷大；
多元函数的要求就是一方面曲面光滑--没有裂缝、没有皱褶.同样没有垂直
于各个坐标的垂直切线.
3、一元函数的求导,就是简单的沿着x轴考虑曲线变化率,考虑曲线的连续性、
可导性、凹凸性等等；
多元函数要考虑在某一个方向的特殊导数--方向导数.方向导数取得最大值
的方向,就是梯度的方向,而它的反方向一定存在一个力,整体存在一个力
场.例如温度增加得最快的方向,其反方向就是热流的方向；如电势增加得
最快的方向,反方向就是电场力的方向.这样的例子举不胜举.
4、一元函数的可导可微没有什么惊人区别,工程上的误差计算：
Δy = (dy/dx)Δx,dy/dx 利用的是可导,Δx,Δy 运用的就是可微.
无论是牛顿的近似计算,还是用麦克劳琳级数计算,还是用泰勒技术计算,
也都是运用的可导性与可微性.
在多元函数中,就不一样了,u = f(x,y,z),随便写出 du/dx,du/dy,
dy/dz 都是错误的.我们可以有三种写法：
du = (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy + (∂u/∂z)dz
du/dt = (∂u/∂x)dx/dt + (∂u/∂y)dy/dt + (∂u/∂z)dz/dt
grad u = (∂u/∂x)i + (∂u/∂y)j + (∂u/∂z)k (i,j,k 是单位矢量)
5、一元函数可微就是可导,可导就可微；
多元函数可导就含糊了,沿100万个方向可偏导,只要一个方向不可偏导,
就不可微,只要可微,就表示沿各个方向可偏导；
多元函数,在任何方向的导数都是偏导.没有全导的概念,只有偏导、偏
微、全微的概念.如果讲全导,则是意指上面的du/dt的情况.
6、在一元函数,我们可以计算极值点.
在多元函数中,当然仍然有极值点的计算.但是可能多出了一个极值面,
或极值曲线的概念.例如,在引力场中,物体下滑时,沿什么样的曲线最
这就要涉及多元函数的张量问题.
7、一元函数,通常是常微分的解；多元函数是偏微分的解.
总而言之,言而总之,多元函数考虑的情况是三维以上的情况,考虑的因素多了许多,基本上仍然是一元微积分的应用.本质上没有区别,只是在复杂程度上,麻烦了许多.