一元二次方程的解题思路和一般步骤

2个回答

  • 一般解法  1..配方法(可解所有一元二次方程)

    2.公式法(可解所有一元二次方程)

    3.因式分解法(可解部分一元二次方程)

    4.开方法(可解部分一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的,不过要一般形式)

    一、知识要点:

    一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基

    础,应引起同学们的重视.

    一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2

    的整式方程.

    解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解

    法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法.

    二、方法、例题精讲:

    1、直接开平方法:

    直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

    方程,其解为x=m± .

    例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

    分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以

    此方程也可用直接开平方法解.

    (1)(3x+1)2=7×

    ∴(3x+1)2=5

    ∴3x+1=±(注意不要丢解)

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2=

    (2) 9x2-24x+16=11

    ∴(3x-4)2=11

    ∴3x-4=±

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2=

    2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

    先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c

    将二次项系数化为1:x2+x=-

    方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

    方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=

    当b2-4ac≥0时,x+ =±

    ∴x=(这就是求根公式)

    例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0

    将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

    将二次项系数化为1:x2-x=

    方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2

    配方:(x-)2=

    直接开平方得:x-=±

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2= .

    3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b^2-4ac的值,当b^2-4ac≥0时,把各项

    系数a, b, c的值代入求根公式x=(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根.

    例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5

    将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0

    ∴a=2, b=-8, c=5

    b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

    ∴x= = =

    ∴原方程的解为x1=,x2= .

    4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让

    两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个

    根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

    例4.用因式分解法解下列方程:

    (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

    (3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)

    (1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

    x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)

    (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

    ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

    ∴x1=5,x2=-2是原方程的解.

    (2)2x2+3x=0

    x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

    ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

    ∴x1=0,x2=-是原方程的解.

    注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.

    (3)6x2+5x-50=0

    (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

    ∴2x-5=0或3x+10=0

    ∴x1=, x2=- 是原方程的解.

    (4)x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)

    (x-2)(x-2 )=0

    ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.

    小结:

    一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般

    形式,同时应使二次项系数化为正数.

    直接开平方法是最基本的方法.

    公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式

    法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程

    是否有解.

    配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

    解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方

    法之一,一定要掌握好.(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法).

    例5.用适当的方法解下列方程.(选学)

    (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0

    (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

    分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差

    公式分解因式,化成两个一次因式的乘积.

    (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解.

    (3)化成一般形式后利用公式法解.

    (4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.

    (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0

    [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

    (5x-5)(-x+13)=0

    5x-5=0或-x+13=0

    ∴x1=1,x2=13

    (2) x2+(2- )x+ -3=0

    [x-(-3)](x-1)=0

    x-(-3)=0或x-1=0

    ∴x1=-3,x2=1

    (3)x2-2 x=-

    x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

    △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

    ∴x=

    ∴x1=,x2=

    (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

    4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

    [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

    2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

    ∴x1= ,x2=

    例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学)

    分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我

    们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方

    法)

    [3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

    即 (5x-5)(2x-3)=0

    ∴5(x-1)(2x-3)=0

    (x-1)(2x-3)=0

    ∴x-1=0或2x-3=0

    ∴x1=1,x2=是原方程的解.

    例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0

    x2+px+q=0可变形为

    x2+px=-q (常数项移到方程右边)

    x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)

    (x+)2= (配方)

    当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)

    ∴x=- ±=

    ∴x1= ,x2=

    当p2-4q