Question

如图,A,B是函数y=e^2x的图像上两点,分别过A,B作x轴的平行线与函数y=e^x的图像交与C,D两点

Answer 1

设在函数 y=e^2x 上的两点坐标分别为A (x1,e^(2x1)),B(x2,e^(2x2))

这两点所成直线过原点,所以直线方程为

y=[e^(2x2)-e^(2x1)]/(x2-x1) * x

当AB两点重合的时候,AB为过原点的函数y=e^2x的切线

y'=2e^2x （1）

设该切线方程为y=kx,设切点为(x',e^2x')则

e^2x'=2x'e^2x'

2x'=1

x'=0.5

带入（1）得此时斜率为2e,此为斜率的最小值

设x2>x1,当AB不重合的时候斜率为[e^(2x2)-e^(2x1)]/(x2-x1),x1无穷大的时候,斜率[e^(2x2)-e^(2x1)]/(x2-x1)的极限为无穷大,所以,斜率的取值范围是

[2e,正无穷)

y=e^x 上两点的坐标为 C(2x1,e^(2x1) D(2x2,e^(2x2))

设这两点所成直线为y=kx+b

k=[e^(2x2)-e^(2x1)]/[2(x2-x1)]

带入点C(2x1,e^(2x1) 得到：

e^(2x1)=[e^(2x2)-e^(2x1)]/[2(x2-x1)] * 2x1 + b

化简得到b=0

所以CD过原点.