首先,齐次方程y''+y=0的特征方程是r^2+1=0,得r=±i,所以通解是y=C1×sinx+C2×cosx.
其次,求非齐次方程的一个特
很显然,y''+y=x有一个特解Y1=x.
2i不是特征方程的根,所以y''+y=3sin2x的一个特解设为Y2=k×sin2x,代入得k=-1,所以Y2=-sin2x
i是特征方程的单根,所以设y''+y=2cosx的一个特解为Y3=x[asinx+bcosx],代入得a=1,b=0,所以Y3=xsinx
所以,非齐次方程的一个特解Y=Y1+Y2+Y3=x-sin2x+xsinx,通解是y=x-sin2x+xsinx+C1×sinx+C2×cosx.