(1)
∵点A在圆x²＋y²＝c²上
∴△AF1F2为一直角三角形
∵|F1A|＝c,|F1F2|＝2c
∴|F2A|＝√(|F1F1|²－|F1A|²)＝√3c
由椭圆的定义知：
|AF1|＋|AF2|＝2a
c＋√3c＝2a
∴e＝c/a＝2/(1＋√3)＝√3－1
(2)
∵函数y＝√2＋logm(x)的图像恒过点(1,√2)
∴a＝√2,b＝1,c＝1
点F1(－1,0),F2(1,0)
①若AB⊥x轴,则A(－1,√2/2),B(－1,－√2/2)
∴向量F2A＝(－2,√2/2),向量F2B＝(－2,－√2/2),向量F2A•向量F2B＝4－1/2＝7/2
②若AB与x轴不垂直,设直线AB的斜率为k,则AB的方程为y＝k(x＋1)
由
{y＝k(x＋1)
{x²＋2y²－2＝0
消去y得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2(k²－1)＝0 (*)
∵Δ＝8k²＋8＞0
∴方程(*)有两个不同的实根
设点A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1,x2是方程(*)的两个根
x1＋x2＝－4k²/(1＋2k²)
x1x2＝2(k²－1)/(1＋2k²)
向量F2A＝(x1－1,y1),向量F2B＝(x2－1,y2),
向量F2A•向量F2B＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k²)x1x2＋(k²－1)(x1＋x2)＋1＋k²
＝(1＋k²)[2(k²－1)/(1＋2k²)]＋(k²－1)[－4k²/(1＋2k²)]＋1＋k²
＝(7k²－1)/(1＋2k²)＝7/2－[9/2(1＋2k²)]
∵1＋2k²≥1
∴0＜1/(1＋2k²)≤1,0＜9/[2(1＋2k²)]≤9/2
－1≤向量F2A•向量F2B＝7/2－[9/2(1＋2k²)]＜7/2
由①②知：
－1≤向量F2A•向量F2B＜7/2