已知a是正整数,如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根.

2个回答

  • 将方程的左边分解因式,得(x-1)【x2+(a+18)x+56】=0,观察易知,方程有一个整数根x1=1,

    ∵a是正整数,

    ∴关于x的方程x2+(a+18)x+56=0(1)的判别式△=(a+18)2-224>0,它一定有两个不同的实数根.

    而原方程的根都是整数,所以方程(1)的根都是整数,因此它的判别式△=(a+18)2-224应该是一个完全平方数.

    设(a+18)2-224=k2(其中k为非负整数),则(a+18)2-k2=224,即(a+18+k)(a+18-k)=224.

    显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而224=112×2=56×4=28×8,所以a+18+k=112 a+18-k=2或a+18+k=56 a+18-k=4或a+18+k=28 a+18-k=8解得a=39 k=55或a=12 k=26或a=0 k=10

    而a是正整数,所以只可能a=39 k=55或a=12 k=26.

    当a=39时,方程(1)即x2+57x+56=0,它的两根分别为-1和-56.此时原方程的三个根为1,-1和-56.

    当a=12时,方程(1)即x2+30x+56=0,它的两根分别为-2和-28.此时原方程的三个根为1,-2和-28