Question

各位大哥大姐帮个忙,小弟实在不会了!已知双曲线X^2-Y^2/4=1,求过定点M（2,2）的弦的中点P的轨迹方程?

Answer 1

因为M（2,2）在在双曲线右半支内部,且弦过M点,故弦所在的直线与双曲线交与右半上两点.双曲线渐近线方程为y=±2x,不妨假设该弦所在的直线方程为y-2=k×(x-2）.则k的取值范围为（-2,2）.联立方程y-2=k×(x-2)与x*2-y*2／4=1,得：（1-k*2)x*2+(4k*2-4k)x-(4k*2+8k)=0.现设两交点的坐标A（x1,y1),B(x2,y2).由韦达定理,x1+x2=(4k-4k*2)／(1-k*2)=4k／(1+k).y1+y2=k(x1-2)+2+k(x2-2)+2=1／(1+k).弦的中点坐标X=(x1+x2)／2=2k／(1+k),Y=(y1+y2)／2=1／2(1+k).根据X=(x1+x2)／2=2k／(1+k)解得k=x／(2-x),代入Y=1／2(1+k),得到Y=（X／4）-（1／2）.此式即为所求解.另外关于X的取值比较简单请自行考虑.