Question

已知函数f(n)＝logn+1(n+2)，(n∈N*)，定义：使f（1）×f（2）×f（3）×…×f（k）为整数的数k（

Answer 1

解题思路：由已知中函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N^*），利用对数运算的性质易得f（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2），若其值为整数，则k+2=2ⁿ（n∈Z），结合k∈[1，1000]，我们易得到满足条件的数的个数．

∵函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N^*），

∴f（1）=log₂3，

f（2）=log₃4，

…

f（k）=log_k+1（k+2）．

∴f（1）•f（2）…f（k）=log₂3•log₃4•…•log_k+1（k+2）=log₂（k+2）．

若f（1）•f（2）…f（k）为整数，

则k+2=2ⁿ（n∈Z），

又∵k∈[1，1000]，

故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510}．

∴在区间[1，1000]内这样的企盼数共有8个．

故选：B．

点评：

本题考点： 换底公式的应用；对数的运算性质．

考点点评： 本题考查了对数的运算性质，是新定义题，解答此题的关键是利用对数的换底公式转化，是中档题．