Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=3．

Answer 1

（1）令b=0，则f（a）=f（a）•f（0），所以f（0）=1．

令a=1，b=-1，则f（0）=f（1-1）=f（1）•f（-1），则 f(-1)=

1

2 ．

（2）令a=x，b=-x，则f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x），则 f(-x)=

1

f(x) ．

因为当x＞0时，有f（x）＞1，所以对于x∈R，f（x）＞0，又当x＞0时，有f（x）＞1．

设任意实数x ₁＞x ₂，

f( x 1 )

f( x 2 ) =f( x 1 - x 2 )＞1 ，即f（x ₁）＞f（x ₂），

故f（x）是R上的增函数．